2015年湖南省普通高中学业水平考试数学模拟试题及参考答案

2015 年湖南省普通高中学业水平考试数学模拟试题 一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 1、已知等差数列 a n  的前 3 项分别为 2,4,6,则数列 a n  的第 4 项为( A、7 B、8 C、10 D、12 ) ) 2、如图是一个几何体的三视图,则该几何体为( A、球 B、圆柱 C、圆台 D、圆锥 ) 3、函数 f  x    x  1 x  2  的零点个数是( A、0 B、1 C、2 D 、3 4、已知集合 A   1,0,2, B  x,3,若 A  B  2,则 x 的值为( A、3 B、2 C、0 D、-1 ) 5、已知直线 l1 : y  2 x  1 , l 2 : y  2 x  5 ,则直线 l1 与 l 2 的位置关系是( A、重合 B、垂直 C、相交但不垂直 D、平行 ) 6、下列坐标对应的点中,落在不等式 x  y  1  0 表示的平面区域内的是( A、 0,0  B、 2,4  C、  1,4  D、 1,8 ) 7、某班有 50 名同学,将其编为 1、2、3、 、 、50 号,并按编号从小到大平均分成 5 组,现用系统抽样方法, 从该班抽取 5 名同学进行某项调查,若第 1 组抽取的学生编号为 3,第二组抽取的学生编号为 13,则 C 第 4 组抽取的学生编号为( A、14 B、23 ) D、43 ) D C、33 8、如图,D 为等腰三角形 ABC 底边 AB 的中点,则下列等式恒成立的是( A、 CA  CB  0 B、 CD  AB  0 C、 CA  CD  0 D、 CD  CB  0 A ) B 9、将函数 y  sin x 的图象向左平移 A、 y  sin  x   3 个单位长度,得到的图象对应的函数解析式为(     3 B、 y  sin  x      3 C、 y  sin  x    2   3  D、 y  sin  x    2   3  10、如图, 长方形的面积为 2, 将 100 颗豆子随机地撒在长方形内, 其中恰好有 60 颗豆子落在阴影部分内, 则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为( A、 ) 2 3 B、 4 5 C、 6 5 D、 4 3

二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 开始 11、比较大小: log 2 5 2 2 ) log 2 3 (填“>”或“<” 输入a, b, c 12、已知圆  x  a   y  4 的圆心坐标为 3,0  ,则实数 a  y 13、某程序框图如图所示,若输入的 a, b, c 值分别为 3,4,5,则输出的 y 值为 abc 3 输出y 1 3  14、已知角  的终边与单位圆的交点坐标为   2 , 2  ,则 cos     结束 15、如图,A,B 两点在河的两岸,为了测量 A、B 之间的距离,测量者在 A 的同侧选定一点 C,测出 A、 C 之间的距离是 100 米, BAC  105 , ACB  45 ,则 A、B 两点之间的距离为 米。 B 河 105 45 C 三、解答题(共 5 小题,满分 40 分) A 16、(6 分)已知函数 y  f  x ,  x   2,6 的图象如图,根据图象写出: (1)函数 y  f  x  的最大值; (2)使 f  x   1 的 x 值。 y 2 1 2 0 1 1 2 5 6 x

17、(8 分)一批食品,每袋的标准重量是 50g,为了了解这批食品的实际重量情况,从中随机抽取 10 袋 食品,称出各袋的重量(单位:g) ,并得到其茎叶图(如图) , (1)求这 10 袋食品重量的众数,并估计这批食品实际重量的平均数; (2)若某袋食品的实际重量小于或等于 47g,则视为不合格产品,试估计这批食品重量的合格率。 4 5 5 6 0 6 0 9 1 1 2 0 18、(8 分)如图,在四棱柱 ABCD  A1 B1C1 D1 中, D1 D  底面 ABCD,底面 ABCD 是正方形, 且 AB=1, D1 D  2 (1)求直线 D1 B 与平面 ABCD 所成角的大小; (2)求证:AC 平面 BB1 D1 D D1 A1 B1 C1 D A B C

19、(8 分)已知向量 a  sin x,1, b  cos x,1, x  R , (1)当 x   4 时,求向量 a  b 的坐标; 2 (2)若函数 f  x   a  b  m 为奇函数,求实数 m 的值。 20、(10 分)已知数列 a n  的前 n 项和 S n  2  a ( a 为常数, n  N  ) n (1)求 a1 , a 2 , a3 ; (2)若数列 a n  为等比数列,求常数 a 的值及 a n ; (3)对于(2)中的 a n ,记 f n     a 2 n 1  4  a n 1  3 ,若 f n   0 对任意的正整数 n 恒成立,求实 数  的取值范围。 参考答案 一、选择题(每小题 4 分,满分 40 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B D A C

B A C 二、填空题(每小题 4 分,满分 20 分) 11.>; 1 ; 15. 2100. 三、解答题(满分 40 分) 2; „„„„„„„3 分 „„„„„6 分 17.解: (1)这 10 袋食品重量的众数 12. 3; 13.4; 14. 2 16.解: (1)由图象可知,函数)(xfy (2)由图象可知,使 1)( 为 50(g) , 4910 52 515150505049464645 g) , xf 的 x 值为-1 或 5. „„„„„„2 分 因为这 10 袋食品重量的平均数为 所以可以估计这批食品实际重量的平均数为 49(g) ; „„„„„4 分 (2)因为这 10 袋食品中实际重量 小于或等于 47g 的有 3 袋,所以可以估计这 批食品重量的不合格率为 103,故可以估计这批食品重量的合格率为 10 7 . 8 分 18. (1)解:因为 D1D⊥面 ABCD,所以 BD 为直线 B D1 在平面 ABCD 内的射影, 所以∠D1BD 为直线 D1B 与平面 ABCD 所成的角, „„„„„„„2 分 又因为 AB=1,所以 BD=2,在 Rt△D1DB 中,1tan11 BD D DBDD, 所以∠D1BD=45º,所以直线 D1B 与平面 ABCD 所成的角为 45º; 4 分 (2)证明:因为 „ D1D⊥面 ABCD, AC 在平面 ABCD 内, 所以 D1D⊥AC,又底面 ABCD 为正方形, 所以 AC⊥BD, „„„„„„6 分 因为 BD 与 D1D 是平面 BB1D1D 内的两条相交直线, 所以 AC⊥平面 BB1D1D. „„„„„„„„„„8 分 19.解: (1)因为 a =(xsin,1) ,b =(xcos,1) ,4 x, 所以 a + b)2,2()2,cos(sin 52sin4)cos(sin)(2, xx; „„„„„„„4 分 (2) 因为 a + b)2,cos(sinxx mxmxxxf „„„„„6 分 因为)(xf 为奇函数,所以)()(xfxf

即 mxmx f,解得 5 m 同样给分. 52sin5)2sin(,解得 5 m. „„„„„8 分 注:由)(xf 为奇函数,得 0)0( 20.解: (1)211 „„„„„2 分 由 3213aaaS nnnnSSa, aSa, 43 a; „„„„„„„„1 分 由 212aaS „„„„„„„3 分 (2)因为 21 22 a, aa,当 2 „„„ n 时,112 又{na}为等比数列, 所以 11 „„„„„„„„„„„„6 分 (3)因为 12 则2 t,34)2(34)(22 当0 03)( a, 即 12 a,得 1 a, „„„„5 分 故 12 nnnf nna; „„„„„„7 分 令 nt2 ttg, „ nna,所以 3242)(2 tttnf, 设 34)2()(2 nf 恒成立, „„„„„„„8 分 当 0 34)2()(2 ttg 对应 的点在开口向上的抛物线上,所以 0)( 当0 0)( 3 04 3 nf 不可能恒成立, 34)2()(2 „„„„„9 分 ttg 在 2 t 时有最大值 34 即4 nf 对任意的正整数 n 恒成立,只需 034 04 3 „„„„„„„„„„10 分

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